Лекция 11 
Тема: Каналы связи и их математические модели
Содержание: 
1.	Определение понятия "канал" в теории связи в зависимости от рассматриваемых сечений при связи "точка-точка", связь с понятиями модели OSI, концептуальные модели каналов (что учитывается, для чего предназначена), основные математические модели физических и информационных (в первую очередь двоичных) каналов. 
2.	Показатели качества каналов передачи информации.

1. Каналы связи и их математические модели 

Каналом связи называют совокупность устройств, имеющих один вход и один выход, и предназначенных для передачи сигналов на расстояние. 
В зависимости от вида представления сообщений на входе и выходе канала связи различают непрерывные, дискретные и полунепрерывные каналы.
В непрерывных каналах связи сигналы на входе и выходе представляются в аналоговой или дискретно-аналоговой форме. 
В дискретных каналах связи сообщения на входе и выходе представлены в цифровой форме. Такой канал обычно состоит из непрерывного канала, к которому на входе подключаются устройства формирования и кодирования цифровых сигналов, а на выходе - решающее (обрабатывающее) устройство, служащее для опознавания переданных сигналов. 
В теории информации дискретный канал рассматривается как некоторое устройство со статистическими связями между входом и выходом, отражающими действия помех.
В полунепрерывных каналах на одном из концов (входе или выходе) сообщение может быть представлено в цифровой форме, а на другом - в аналоговой или дискретной

Пропускная способность канала связи.
В любой системе связи через канал передаётся информация. Её скорость определяется по формуле:
I’(А,В)=H’(А)-H’(А|В)=H’(А)-H’(В|А). (1)
Величина H(A|B) - это потери информации при передаче ее по каналу. Ее также называют ненадежностью канала. H(B|A) - энтропия шума; показывает, сколько бит шумовой информации примешивается к сигналу. Передачу сигнала по каналу иллюстрирует рис. 1.

Рис. 1. Передача информации по каналу с помехами

Здесь I’(A,B)=v*I(A,B) - скорость передачи информации по каналу.
Как видно из формулы (1), эта скорость зависит не только от самого канала, но и от свойств подаваемого на его вход сигнала и поэтому не может характеризовать канал как средство передачи информации. 
Рассмотрим дискретный канал, через который передаются в единицу времени  символов из алфавита объёмом m. При передачи каждого символа в среднем по каналу проходит количество информации
I(A,B)=H(A)-H(A|B)=H(B)-H(B|A), (2)
где А и В- случайные символы на входе и выходе канала. Из четырёх фигурирующих здесь энтропий Н(А)- собственная информация передаваемого символа определяется источником дискретного сигнала  и не зависит от свойств канала. Остальные три энтропии в общем случае зависят как от источника сигнала, так и от канала.
Величина I(A,B) характеризует не только свойства канала, но и свойства источника информации. Пусть на вход канала можно подавать сигналы от различных источников информации с различными распределениями P(A). Для каждого источника I(A,B) примет свое значение. 
Максимальное количество информации, взятое по всевозможным Р(А), характеризует только канал и называется пропускной способностью (ПС) канала в расчете на один символ:
бит/символ,
где максимизация производится по всем многомерным распределениям вероятностей Р(А).
Также определяют пропускную способность С канала в расчете на единицу времени:
бит/с,	(3)
где v - количество символов, переданное в секунду.
В качестве примера вычислим пропускную способность дискретного симметричного канала без памяти (рис. 2) с вероятностью ошибочного перехода - p.

Рис. 2. Модель двоичного симметричного канала без памяти

Согласно свойству взаимной информации 2 можно записать: Ссим=max(H(B)-H(B|A)). Распишем H(B|A). Исходя из условий задачи вероятность правильной передачи символа по каналу - 1-p, а вероятность ошибочной передачи одного символа p/(1-m), где m - число различных символов, передающихся по каналу. Общее количество верных передач - m; общее количество ошибочных переходов - m*(m-1). Отсюда следует, что:
.
Следовательно, Н(В/А) не зависит от распределения  вероятности в ансамбле А,  а определяется только переходными вероятностями канала. Это свойство сохраняется для всех моделей канала с аддитивным шумом.
Максимальное значение Н(В)=log m. Отсюда следует:
.	(4)
Пропускная способность в двоичных единицах в расчете на единицу времени:
.	  (5)
Для двоичного симметричного канала (m=2) пропускная способность в двоичных единицах в единицу времени 
С=[1+p*log(p)+(1-p)*log(1-p)] (6)
Зависимость  С/ от р согласно (6) показана на рис.3

Рис.3 Зависимость  пропускной способности двоичного симметричного канала без памяти от вероятности ошибочного приёма символа.

При р=1/2 пропускная способность канала С=0, поскольку при такой вероятности ошибки последовательность выходных символов можно получить совсем не передавая сигнала по каналу, а выбирая их наугад, т.е. при р=1/2 последовательности на выходе и входе канала независимы. Случай С=0 называют обрывом канала. 

Теорема кодирования для канала с помехами. 
Это основная теорема кодирования К. Шеннона. Применительно к дискретному источнику информации она формулируется так:
Теорема. Если производительность источника сообщений H’(A) меньше пропускной способности канала С: H’(A)<С, то существует такой способ кодирования (преобразования сообщения в сигнал на входе канала) и декодирования (преобразования сигнала в сообщение на выходе), при котором вероятность ошибочного декодирования и ненадежность канала H(A|A*) могут быть сколь угодно малы. Если же H’(A)>С, то таких способов кодирования и декодирования не существует.
Модель:

КАНАЛ

КОДЕР

ИС

 Н(А) Н’(В)

Н’(А)<с

Если же Н’(А)>с, то такого кода не существует.
Теорема указывает на возможность создания помехоустойчивых кодов.
Н’(А)< Н’(В)Н’(В)=VkH
Декодер выдаёт на код каналов Vk  символов в секунду. Если в канале потерь нет, то Vk=с.
При Н<1 будет тратится больше одного бита на символ, значит появляется избыточность, т.е. не все символы несут полезную информацию.
Делаем вывод, что смысл теоремы Шеннона заключается в том, что при H’(A)>С невозможна безошибочная передача сообщений по данному каналу, если же H’(A)<С, то ошибки могут быть сведены к сколь угодно малой величине. Таким образом, величина С - это предельное значение скорости безошибочной передачи информации по каналу

Развитие вычислительных сетей потребовало передачи при межмашинном обмене данными больших объемов цифровой информации с высокой скоростью и верностью Именно поэтому возникла проблема проектирования средств организации каналов передачи данных эффективно использующих пропускную способность существующих непрерывных каналов электросвязи и базирующихся на современной технике и технологии цифровых интегральных схем.
Базовые функции  по согласованию источников и приемников данных с непрерывными частотно-ограниченными каналами возложена на устройства преобразования сигналов (УПС), которые в значительной мере определяют такие характеристики цифровых каналов, как скорость и верность. Поэтому разработка УПС , обеспечивающих требуемые информационные характеристики систем передачи сигналов данных между территориально удаленными оконечными пунктами , является одной из актуальных задач , входящих в комплекс проблем технического обеспечения межмашинного обмена информацией в вычислительных сетях.